Mathematik

P H I L O S O P H I S C H E S I N S T I T U T

M A T H E M A T I K
(Mengenlehre)

Die zu behandelnde Thematik ist komplex und nicht von einfacher Struktur. Deshalb ist sie nur in ihrer Gesamtheit oder gar nicht zu verstehen.

Für Mathematiker werden die CANTORschen Diagonalverfahren 1.Art und 2.Art widerlegt und es wird eine Korrektur der Mengenlehre durchgeführt, konkret die Behandlung abzählbarer und überabzählbarer Mengen. Gleichzeitig wird die (bisher unbekannte) größte Zahl in der Menge der Natürlichen Zahlen und der (bisher unbekannte) Nachfolger von Null (als nicht natürliche Zahl) in der Menge der Reellen Zahlen ermittelt.

Für Physiker wird hier die Problematik von Kontinuum (mathematischer Punkt) und Diskontinuum (physikalischer Punkte / Teilchen) einer Lösung zugeführt, d.h. konkret die Überführung dieser beiden Gegensätze in eine Einheit nach dem (Schöpfungs-) Gesetz der Einheit des Gegensatzes (siehe PHILOSOPHIE ebenda), was wiederum identisch ist mit der mathematischen Beschreibung eines so definierten Urteilchens, eines abzählbar unendlich kleinen Teilchens als Element des Lichtäthers, des Kosmos´, derer es unendlich viele gibt, wobei jede endliche Masse aus abzählbar unendlich vielen Urteilchen besteht.

Für Philosophen ist das der mathematische Beweis für die Auflösung des Gegensatzes von Geist und Materie (was Schöpfung aus dem Nichts erklärbar macht) und für die Aussage, daß

A L L E S A U S N I C H T S

entstanden ist, auch Gott, der ALLES ist, was zur Konsequenz hat, daß die letzte aller denkbaren Fragen, woher Gott (Alles) kommt, beantwortet ist, mathematisch bewiesen. Das Nichts, physikalisch der Kosmos (der unterschieden wird vom Weltall und vom Universum; siehe PHILOSOPHIE ebenda: Die Urteilchentheorie) oder auch der sogenannte Licht- oder Weltäther, wird als ETWAS bewiesen, woraus dann logisch zwingend folgt, daß Geist Ursache allen Seins ist, nicht Materie. Materie ist eine Schöpfung des Geistes und nicht umgekehrt.

N a t ü r l i c h e Z a h l e n

Natürliche Zahlen sind die Zahlen:

0,1,2,3,4,5, ...

Alle natürlichen Zahlen werden in der Menge der natürlichen Zahlen zusammengefaßt. Wieviel natürliche Zahlen gibt es?

Niemand weiß, wieviel natürliche Zahlen es gibt. Gäbe es unter den natürlichen Zahlen eine, welche die größte wäre, so wäre gerade diese Zahl identisch mit der Zahl aller vorhandenen natürlichen Zahlen.

Beispiel:

Beginnen wir nicht bei Null, sondern bei 1 mit Zählen, und nehmen wir an, 37 sei die größte natürliche Zahl, so besteht die Menge der natürlichen Zahlen gerade aus 37 Zahlen.

Um das Problem zu lösen, wie groß die Menge der natürlichen Zahlen ist, sind Mathematiker folgenden, logischen Gedankenweg gegangen.

Man kann immer zählen, d.h., die Menge der natürlichen Zahlen ist abzählbar.
Es läßt sich keine natürliche Zahl finden, zu welcher die Zahl 1 nicht addierbar wäre, d.h., man kann immer zählen, endlos lange zählen, unendlich lange zählen, ohne jemals aufhören zu müssen oder zu können. Es gibt kein Ende der natürlichen Zahlen. Die größte natürliche Zahl, das wäre gleichzeitig die letzte, läßt sich nicht finden.

Weil man unendlich lange zählen und doch immer zählen kann, nennt man die Menge der natürlichen Zahlen abzählbar unendlich groß.

Die Menge der reellen Zahlen ist nicht abzählbar. Es gibt nicht abzählbare Mengen. Die Menge der reellen Zahlen ist eine dieser Mengen.

Die Menge der ganzen Zahlen ist die Menge der natürlichen Zahlen vereint mit der Menge aller negativen natürlichen Zahlen:

..., -3, -2, -1, 0, 1, 2 , 3, ...

Die Menge der rationalen Zahlen ist die Menge der ganzen Zahlen vereint mit der Menge aller Brüche, die aus der Menge der ganzen Zahlen bildbar sind. Jede beliebige ganze Zahl geteilt durch eine beliebige ganze Zahl zusammen mit allen ganzen Zahlen werden rationale Zahlen genannt.

Die Zahl 123456789 geteilt durch 987654321 zum Beispiel, ist eine rationale Zahl.

Irrationale Zahlen sind alle Zahlen, welche nicht ganze Zahlen sind und auch nicht durch einen Bruch darstellbar sind. Typische irrationale Zahlen sind die Zahlen Pi (p) und die Eulersche Zahl (e) oder Wurzel aus der Zahl 2. Diese Zahlen besitzen eine endlose, sich nicht wiederholende Ziffernfolge nach dem Komma.

Die Menge der reellen Zahlen wird gebildet aus allen rationalen und irrationalen Zahlen zusammen. Sie ist unendlich groß. Die Menge der reellen Zahlen ist nicht abzählbar. Man kann reelle Zahlen nicht zählen, weil man sie nicht (der Größe nach) ordnen kann. So ist zum Beispiel die kleinste positive reelle Zahl nicht bekannt, das ist definitionsgemäß der Nachfolger der Zahl Null in der Menge der reellen Zahlen.

In der Menge der natürlichen Zahlen ist der Nachfolger der Zahl Null die Zahl 1. Welche Zahl aber folgt der Zahl 0 in der Menge der reellen Zahlen?

Der Bruch 1 / 9 (Eins geteilt durch Neun) ist eine rationale (und damit auch reelle) Zahl:

1 / 9 = 0,111 ... (1)

Ist aber auch die Zahl 0,111... eine rationale Zahl? Nach dem Komma folgen endlos viele Ziffern, hier nur die Ziffer 1. Wollte man die Anzahl dieser Ziffern ermitteln, würde man alle natürlichen Zahlen brauchen, um sie zu zählen, d.h., nach dem Komma folgen abzählbar unendlich viele Ziffern, hier immer nur die Ziffer 1.

Die Zahl p = 3,1415 ...

besitzt auch eine endlose Ziffernfolge nach dem Komma, aber die Ziffern wechseln ständig.

Gleichung (1) hat zur Konsequenz:

1 / 9 = 0,111 ...

9 * 1 / 9 = 9 * 0,111 ...

1 = 0,999 ...

Die natürliche Zahl 1 ist gleich der rationalen Zahl 0,999... Beide Zahlen sind identisch. Wie können eine natürliche Zahl und eine nicht natürliche, rationale oder reelle Zahl identisch miteinander sein?

Gilt 1 = 0,999 ...

dann gilt auch 2 = 1,999 ...

3 = 2,999 ...

und dies endlos ... = ...

für alle natürlichen Zahlen.

Es läßt sich also zu jeder natürlichen Zahl eine identische reelle, nicht natürliche Zahl finden. Jede natürliche Zahl ist gleichzeitig identisch mit einer nicht natürlichen Zahl. Was bedeutet das?

Es gibt zwei Möglichkeiten der Interpretation. Entweder ist die Definition von natürlichen Zahlen falsch oder aber die postulierte Gleichheit einer natürlichen Zahl mit einer nicht natürlichen Zahl ist falsch.

Die erste Möglichkeit ist ausschließbar, weil wir Menschen immer zählen werden in der Form

1,2,3, ...

und niemals in irgendeiner anderen Weise. Die natürliche Zählweise ist das Zählen mit natürlichen Zahlen, natürlich. Befassen wir uns also mit der anderen Möglichkeit. Vielleicht enthält sie einen Lösungsweg.

Der Durchmesser eines Kreises wird durch Multiplikation mit der Zahl Pi (p) zum Umfang des Kreises. Ein Kreis und sein Durchmesser sind reale Gebilde. Ist der Längenbetrag des Durchmessers identisch mit einer natürlichen Zahl, so wird der Umfang durch eine irrationale Zahl repräsentiert und umgekehrt. Die irrationale Zahl Pi (p) ist nicht errechenbar. Wir kennen nur hinreichend genaue Näherungswerte. Gerade an der Kreiszahl p ist gut zu verstehen, daß irrationale Zahlen Teil unserer Realität sind.

Die Eulersche Zahl e ist wie die Zahl p eine Naturkonstante und ebenfalls eine irrationale Zahl. Sie repräsentiert die Ordnung der Materie. Warum sind ausgerechnet solche elementar wichtigen Zahlen für die mathematische Beschreibung des Naturgeschehens, der Materie, irrationale Zahlen? Wieso sind es nicht natürliche Zahlen? Wieso sind irrationale (der Vernunft widersprechende) Zahlen Teil unserer Welt und nicht bloß Konstruktionen von Mathematikern?

Die Lösung dieser Problematik liegt in dem Aufbau der Materie. Alle Erscheinungsformen der Materie, also die gesamte materielle Welt, ist gestaltet aus einem einzigen Urstoff. Dieser Urstoff ist schon lange bekannt. Es ist der sogenannte Licht- oder Weltäther, den Albert Einstein, völlig willkürlich mittels seiner nachweislich grotesk falschen speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie, aus unserem Universum verbannt hat (siehe PHYSIK ebenda). Der Lichtäther, Medium für elektromagnetische und Gravitationswellen, besteht definitionsgemäß aus Urteilchen. Urteilchen sind abzählbar unendlich kleine Teilchen. Verschiedene Ordnungsgrade der Bewegung dieser Urteilchen realisieren alle Erscheinungsformen der Materie, auch den leeren Raum zwischen den Sonnen, also das Nichts, aber auch Geist (in Form einer absoluten Ordnung der Bewegung).

Sind Urteilchen physikalische Realität, auch wenn sie nur zu denken und niemals mittels Meßinstrumenten physikalisch nachweisbar sind - dazu sind sie zu klein -, so muß es in der "Zahlenwelt" einen Repräsentanten für dieses Urteilchen geben. Diese Zahl wäre gerade der bisher unbekannte Nachfolger der natürlichen Zahl Null.

Wir bilden das Spiegelbild der Zahl

0,999...

und erhalten:

... 999,0

Ist 0,999... definiert als Zahl, als eine Zahl mit einer endlosen Ziffernfolge nach dem Komma, so ist ebenso

...999,0

eine Zahl, aber eben eine Zahl mit einer endlosen Ziffernfolge vor dem Komma. Zweifelsfrei ist diese Zahl die denkbar größte Zahl in der Menge der natürlichen Zahlen.

Bleiben wir konsequent im Denken. Hätten wir wirklich die denkbar größte natürliche Zahl gefunden, so müßte, wie wir dies oben festgehalten haben, zu dieser Zahl die Zahl 1 nicht addierbar sein. Könnten wir die Zahl 1 nicht addieren, wäre es keine natürliche Zahl. Ist aber die Zahl 1 addierbar, so müssen wir doch die nächst größere Zahl erhalten und hätten somit gar nicht die größte natürliche Zahl gefunden? Führen wir den Additionsprozeß durch:

....99999,0

+ 1,0

= ...0000,0

Wieder müssen wir konsequent denken. Jede, wirklich jede Ziffer 9 ist durch die Ziffer 0 zu ersetzen, addieren wir die Zahl 1 zu der Zahl ...999,0.

Es gibt keine Ausnahme und kein Ende. Die endlose Ziffernfolge vor dem Komma, hier ausschließlich bestehend aus der Ziffer 9, wird ersetzt durch eine endlose Ziffernfolge vor dem Komma, welche nur aus der Ziffer 0 besteht. Mit anderen Worten:

Wird zu der denkbar größten natürlichen Zahl die Zahl 1 addiert, erhielte man die Zahl 0, was aber ein endloser Prozeß und eben deshalb keine Rechenoperation ist.

Spiegelt man diese Erkenntnis zurück, so wird deutlich, daß die Zahlen

1 und 0,999...

nicht identisch sind, sondern sich um einen abzählbar unendlich kleinen Betrag unterscheiden, so daß gilt:

1 / 9 > 0,111...

1 - 0,999... = 1 / ...999,0 ¹ 0

Eins minus 0,999... hat einen von Null verschiedenen Ergebniswert. Die Zahl

0,999...

ist eine nicht ermittelbare Zahl. Ihre Ziffernfolge ist endlos. Folglich ist die Multiplikation der Zahl Neun mit der Zahl 0,111...

9 * 0,111...

nicht wirklich ausführbar; es ist ein endloser Prozeß. Letztlich ist die Ziffernfolge

0,999...

ein der Logik entsprechender Näherungswert, vergleichbar den Zahlen p und der Eulerschen Zahl e, welche beide nur als Näherungswerte vorliegen, niemals jedoch vollständig ermittelt werden können. Und daß die Kreiszahl p, ohne welche weder der Umfang noch die Fläche eines Kreises berechenbar ist, und die Eulersche Zahl e, welche die Ordnung der Materie repräsentiert, also Ordnung überhaupt, beides irrationale Zahlen sind, also Zahlen mit endlosen Ziffernfolgen, ohne die eine Beschreibung des Naturgeschehens unmöglich wäre, ist mehr als nur ein Hinweis, sondern ein schwerwiegendes Argument für die Richtigkeit der hier dargelegten Gedankengänge, die ausschließlich der Möglichkeit der mathematischen Beschreibung eines (real existierenden und doch nur denkbaren) Urteilchens (siehe auch: PHILOSOPHIE ebenda: Die Urteilchentheorie) dienen.

Werden Zahlen mit endlosen Ziffernfolgen als Zahlen und nicht als ewig währende Näherungsprozesse an einen bestimmten Wert betrachtet, so kann man mit ihnen rechnen, aber eben nur unter Verwendung ihres Rundungswertes, also letztlich nicht wirklich, nicht mit dem wahren Wert der Zahl, also nicht mit der Zahl selbst.

Eins geteilt durch eine natürliche Zahl hat immer einen von Null verschiedenen Wert zum Ergebnis. Nur Eins geteilt durch UNENDLICH hat Null zum Ergebnis, aber UNENDLICH ist nicht ein Element der Menge der natürlichen Zahlen. UNENDLICH ist ein Begriff, keine Zahl und, wichtigerweise, durch Zahlenoperationen nicht darstellbar.

Gilt also für jeden Bruch

1 / n

daß sein Ergebniswert größer als Null ist, sofern n eine natürliche Zahl ist, so auch dann, wenn n gerade den Wert der größten natürlichen Zahl annimmt. Wir erhalten den wunderschönen Gegensatz:

Die kleinste positive reelle Zahl ist erhaltbar mittels der größten natürlichen Zahl.

Definitionen:

Jeder Bruch, welcher besteht aus einer von Null verschiedenen, reellen Zahl im Zähler und einer natürlichen Zahl im Nenner, hat als Ergebniswert eine von Null verschiedene, reelle Zahl.
...999,0 ist eine natürliche Zahl.
...999,0 ist die denkbar größte natürliche Zahl.
Die kleinste von Null verschiedene, reelle, positive Zahl, definiert als der Nachfolger der natürlichen Zahl Null, ist der Ergebniswert aus den Rechenoperationen:

a) 1 - 0,999...

b) 1 / ...999,0

c) Grenzwert des Bruches 1 / n wobei n die Menge der natürlichen Zahlen durchläuft.

Die kleinste von Null verschiedene reelle positive Zahl ist unter den Zahlen das Äquivalent zu einem Urteilchen, dem Element des Lichtäthers.
Der Nachfolger von Null als kleinste positive reelle Zahl ist exakt wie ein Urteilchen nur denkbar, nicht real ermittelbar, wie die Zahlen p und e.
Der Nachfolger der natürlichen Zahl Null als kleinste, positive, reelle Zahl wird als reelle Zahl Null oder als Null Element der reellen Zahlen definiert.

___________________________:

: :M a t h e m a t i k

Mit dem folgenden Beweis werden zwei Ziele verfolgt:

Primärziel und Ursache für die Entwicklung dieses Beweises ist die Erweiterung mathematischer Erkenntnisstrukturen zum Zwecke der Schaffung einer bisher nicht vorhandenen Möglichkeit für die mathematische Beschreibung unendlich kleiner Teilchen. Weil unendlich kleine Teilchen unmöglich noch Teilchen sein können, sondern nichts sind, sind sie unendlich klein, handelt es sich hier in Wahrheit um die Beschreibung abzählbar unendlich kleiner Teilchen. Diese abzählbar unendlich kleinen Teilchen sind definiert als Urteilchen und bilden die Elemente des Licht- oder Weltäthers. Die Beweise für die Existenz des Lichtäthers und die damit verbundenen Beweise der Falschheit der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie liegen vor (siehe PHYSIK ebenda).
Erarbeitung einer Grundlage zur Korrektur der CANTORschen Diagonalverfahren 1. Art und 2. Art zum Zwecke der Erfüllung des Primärzieles.

Der folgende Beweis wird anhand von zwei Beispielen geführt. Zum Verständnis hilfreich sind die Ausführungen Natürliche Zahlen.

_________________________________________________________________________

Erstes Beispiel

Es gilt:

1 = 0,`9 (EINS gleich 0,9-Periode)

Die Richtigkeit dieser Behauptung zu beweisen, scheint sehr einfach.

1 / 9 = 0,`1 (EIN NEUNTEL gleich 0,1-Periode)

9 * 1/9 = 9 * 0,`1

1 = 0,`9

Der Bruch 1 / 9 als Dezimalzahl berechnet ergibt

0,111...

also eine endlose Ziffernfolge der einen Ziffer 1 nach dem Komma. Wir können alle diese Ziffern zählen. Jedoch gelangen wir niemals zu einem Ende. Wir können unendlich lange zählen.

Zählen können wir nur mittels der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ... Alle natürlichen Zahlen werden in der Menge der natürlichen Zahlen zusammengefaßt. Die Menge der natürlichen Zahlen wird abzählbar unendlich, kurz abzählbar, genannt, weil man immer zählen kann, aber nie zu einem Ende gelangt. Es ist keine Zahl findbar, zu welcher man die Zahl 1 nicht addieren könnte, also nicht weiterzählen könnte. Gäbe es eine solche Zahl, so wäre diese Zahl gerade die größte natürliche Zahl.

Bisher ist diese Zahl unbekannt. Auf den ersten Blick erscheint es auch als absolut unmöglich, eine natürliche Zahl zu finden, zu welcher die Zahl 1 einerseits addierbar sein muß und gleichzeitig andererseits keine größere Zahl dadurch erhalten wird, was beides in dem Begriff größte natürliche Zahl zusammengefaßt ist. Und das dritte Problem, daß nämlich die Menge der natürlichen Zahlen abzählbar (unendlich) ist, muß auch gelöst sein, denn eine größte natürliche Zahl bedingt ja normalerweise ein Ende, also die Endlichkeit der Menge der natürlichen Zahlen, wodurch ihre (zählbare) Unendlichkeit aufgehoben wäre.

Die Menge der reellen Zahlen ist "größer" als die Menge der natürlichen Zahlen. Die Menge der reellen Zahlen ist unendlich groß und wird auch überabzählbar genannt. Reelle Zahlen sind nicht zählbar, weil man sie nicht ordnen kann (der Größe nach). Zum Beispiel ist die kleinste (positive) von Null verschiedene reelle Zahl nicht bekannt, also der Nachfolger von (der natürlichen Zahl) Null. Weil der Nachfolger von Null in direktem Erkenntniszusammenhang steht mit der größten natürlichen Zahl, muß hierin ein tiefes Geheimnis liegen. Dieses nur zu denkende Geheimnis ist gleichzeitig Realität, physikalische Realität.

Zählen wir die Ziffern nach dem Komma in der Zahl

0,111...

so verbrauchen wir die gesamte Menge der natürlichen Zahlen. Die Anzahl der Ziffern 1 in der Zahl 0,111... ist abzählbar unendlich. Wir können leicht eine Abbildungsvorschrift finden, welche die gesamte Menge der natürlichen Zahlen auf jeweils exakt eine Ziffer aus dieser Zahl abbildet:

f(x) = 10^-x x e N (x ist Element der natürlichen Zahlen)

Betrachten wir diese andere Darstellung der Zahl 0,111... Es gilt:

0,111... = 0,1 + 0,01 + 0,001 + ...

oder in anderer Schreibweise

= 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ...

oder in anderer Schreibweise

= 1/10¹ + 1/10² + 1/10³ + ...

oder in anderer Schreibweise

unter Verwendung des Summensymbols Sigma ( S ) :

= S 1 / 10ⁿ N - Menge der natürl. Zahlen n e N

n e N (n durchläuft N )

0,111... ist definitionsgemäß darstellbar als eine abzählbare (unendliche) Summe, in welcher der n-te Summand (also jeder) darstellbar ist in Form von

1 / 10ⁿ n durchläuft die Menge der natürlichen Zahlen.

Um das eigentliche Problem zu erfassen, müssen wir jetzt Grenzwertbildungen betrachten.

Grenzwertbildungen sind gedankliche Operationen, für nicht mehr errechenbare Ergebnisse doch ein Ergebnis zu ermitteln. Die Ergebnisse sind nicht berechenbar, weil der Bereich des Endlichen verlassen wurde. Man könnte auch sagen, daß Grenzwertbildungen Unendlichkeitsoperationen darstellen, "Rechnen" mit UNENDLICH (¥).

UNENDLICH ist keine Zahl und somit nicht ein Element der Menge der natürlichen Zahlen. Trotzdem gilt, was einer Revision bedarf, wozu dieser Beweis dient:

l i m 1 / n = l i m 1 / n = 0 (1)

n ® ¥ n e N

Die Definition der Grenzwertbildung, nach welcher die hier vorliegende Zahlenfolge

{a_n} = 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, ..., a_n (2)

konvergent ist mit dem Grenzwert (oder Limes) Null (0), erlaubt Gleichung (1).

Bisher gab es keinen Grund zwischen den beiden qualitativen Unterschieden, ob n gegen UNENDLICH strebt oder n nur die Menge der natürlichen Zahlen durchläuft, zu differenzieren. Läßt sich aber der Nachfolger der natürlichen Zahl Null finden, also die kleinste positive reelle Zahl und ordnet man e gerade diese Zahl zu, so läßt sich kein n mehr finden, für welches gilt:

|a_n - a| < e mit a = 0

Um den Nachfolger der natürlichen Zahl Null zu finden, welcher definiert wird als Null Element der reellen Zahlen oder nicht natürliche Zahl Null oder eben Nachfolger der natürlichen Zahl Null oder kleinste reelle positive Zahl oder Zahlen-Repräsentant eines Urteilchens, betrachten wir die Zahlenfolge (2) noch einmal und genauer.

Der Zahlenwert jeden Gliedes a_n dieser Folge ist sofort ermittelbar, denn es gilt:

a_n = 1 / n

Wieder existiert eine eineindeutige Abbildung der Menge der natürlichen Zahlen auf die Glieder der Zahlenfolge (2) mit:

f(n) = 1 / n n e N

Weil n nur die Menge der natürlichen Zahlen durchläuft, die Menge der natürlichen Zahlen eben ausschließlich aus natürlichen Zahlen besteht, definitionsgemäß, gilt:

1 / n > 0 " n e N

Durchläuft n die Menge der natürlichen Zahlen, so steht auch im Grenzfall im Nenner des Bruches 1 / n eine Zahl, weil die Menge der natürlichen Zahlen ausschließlich aus natürlichen Zahlen besteht. Selbst wenn n über alle Maßen wächst, ist n doch immer eine natürliche Zahl, andernfalls wäre n nicht mehr Teil der Menge der natürlichen Zahlen, im Widerspruch zur Voraussetzung.

Selbstverständlich nähert sich mit wachsendem n jedes Glied der Folge beliebig nahe der natürlichen Zahl Null, doch es läßt sich kein n finden, für welches gilt:

1 / n = 0 n e N (3)

Gleichung (3) ist nur gültig für

n = ¥

UNENDLICH aber ist keine Zahl, insbesondere keine natürliche Zahl und somit nicht zugehörig zur Menge der natürlichen Zahlen.

Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar oder unendlich groß. Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine echte Teilmenge der Menge der reellen Zahlen; sie ist abzählbar, d.h., die Zahl ihrer Elemente ist kleiner als die Zahl der Elemente der Menge der reellen Zahlen. Wohl ist per Definition des Grenzwertes bzw. der Vorschrift für die Grenzwertbildung Gleichung (1) richtig, weil bei wachsendem n der Bruch 1 / n beliebig nahe an Null heranreicht, aber unberücksichtig bleibt, daß der Wert Null, durchläuft n die Menge der natürlichen Zahlen, unmöglich tatsächlich erreicht werden kann.

Wäre nun die größte natürliche Zahl bekannt, so ergäbe sich der Wert des Nachfolgers der natürlichen Zahl Null, indem in Gleichung (3) n gerade diesen Wert annimmt.

Welch wunderschöne Gegensätze: Mittels der größten natürlichen Zahl ist die kleinste (positive) reelle Zahl ermittelbar.

Die denkbar größte natürliche Zahl ist selbst unter Berücksichtigung aller oben angeführten Bedingungen und damit verbundenen, schier unlösbaren Schwierigkeiten, leicht gefunden.

Dazu brauchen wir nur das Spiegelbild erzeugen von der Zahl

0,999...

und erhalten:

... 999,0

Es sei hier ausdrücklich darauf hingewiesen, daß Spiegelbildung ein tiefe philosophische Weisheit enthält, weil die materielle Welt ein Spiegelbild Gottes ist, was umfassend nachzulesen ist in dem Buch mit dem Titel Und woher kommt Gott - Ursache und Sinn allen Seins (VERITAS-Verlag 2003, zweite, überarbeitete und erweiterte Auflage).

Ist 0,999... definiert als Zahl, als eine Zahl mit einer endlosen Ziffernfolge nach dem Komma, so ist ebenso

...999,0

eine Zahl, aber eben eine Zahl mit einer endlosen Ziffernfolge vor dem Komma. Zweifelsfrei ist diese Zahl die denkbar größte Zahl in der Menge der natürlichen Zahlen. Erfüllt sie aber auch die drei anderen Bedingungen?

Führen wir zunächst den Additionsprozeß durch; addieren wir die Zahl 1:

...9999999,0

+ 1,0

= ...0000000,0 (4)

Der Additionsprozeß ist vollziehbar und doch erhalten wir keine größere Zahl, denn denken wir wirklich konsequent, so wird jede, wirklich jede Ziffer 9 durch die Ziffer 0 ersetzt und dies in einem nie endenden Prozeß. Es gibt keine Ausnahme und kein Ende. Die endlose Ziffernfolge vor dem Komma, hier ausschließlich bestehend aus der Ziffer 9, wird ersetzt durch eine endlose Ziffernfolge vor dem Komma, welche nur aus der Ziffer 0 besteht. Mit anderen Worten:

Wird zu der denkbar größten natürlichen Zahl die Zahl 1 addiert, erhielte man die Zahl 0, wäre es möglich, einen endlosen Prozeß zu einem Ende zu führen (das sind Hinweise in der Mathematik auf die Ewigkeit der Existenz Gottes und unserer eigenen).

Die ersten beiden Bedingungen sind erfüllt; bleibt die letzte: die Menge der natürlichen Zahlen ist abzählbar unendlich.

Gerade weil die größte natürliche Zahl nicht durch einen (endlichen) Zählprozeß ermittelbar ist, so wenig wie die (gesamte) Ziffernfolge der Zahlen p und/oder der Eulerschen Zahl e ermittelbar ist, sondern nur mittels eines endlosen oder unendlichen Zählprozesses, was unendlich viele Elemente der Menge der natürlichen Zahlen bedingt, bleibt die Menge der natürlichen Zahlen auch unter Einführung der größten natürlichen Zahl abzählbar.

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

Wir fassen kurz zusammen, weil wir jetzt ein Ergebnis vorliegen haben, welches von nicht abschätzbarer Bedeutung ist.

Mittels Spiegelung der reellen Zahl

0,`9 = 0,999... (0,9-Periode)

erhalten wir die denkbar größte natürliche Zahl

`9, 0 = ...999,0 (9-Periode)

Aus dem Bruch

1 /`9 (EINS geteilt durch 9-Periode)

erhalten wir die kleinste positive reelle Zahl, den Nachfolger der natürlichen Zahl Null. Der nun existierende Nachfolger der natürlichen Zahl Null bedingt eine neue Defintion der Grenzwertbildung. Denn jetzt kann nicht mehr Gleichung (1) gelten, wie oben hinreichend dargelegt ist.

Spiegeln wir den in (4) dargelegten Additionsprozeß zurück, so wird deutlich, daß die Zahlen

1 und 0,999...

nicht identisch sind, sondern sich um einen abzählbar unendlich kleinen Betrag, das ist der Nachfolger der natürlichen Zahl Null, unterscheiden, so daß gilt:

1 / 9 > 0,111...

1 - 0,999... = 1 / ...999,0 ¹ 0

l i m 1 / n = 1 - 0,999... = 1 / ...999,0 > 0 n e N

Eins minus 0,999... hat einen von Null verschiedenen Ergebniswert.

¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

Kehren wir zum Problem der abzählbaren Summe, die zum Ergebnis die Zahl 0,111... hat, zurück. Unter Voraussetzung von Gleichung (1) läßt sich zeigen:

0,`1 > S 1 / 10ⁿ

n e N

was im Widerspruch stünde zu

0,`1 = S 1 / 10ⁿ

n e N

Aus Gleichung (1) folgt zwingend

l i m 1 / n = l i m 1 / 10ⁿ = 0

n e N n e N

Wird also der Bereich des Endlichen verlassen, so nehmen alle Summanden unserer abzählbaren Summe den Wert Null an. Von den endlos oder abzählbar unendlich vielen Summanden sind aufgrund von Gleichung (1) nur endlich viele von Null verschieden. Während also die Zahl 0,111... eine nie abbrechenden Ziffernfolge darstellt, bricht die Ziffernfolge bei der Summenbildung ab. Das ergibt dann eben den Widerspruch:

S 1/10ⁿ = 0,111... > S 1/10ⁿ

n e N n e N

q.e.d.

Der Zusammenhang mit (der Falschheit von) 1 = 0,`9 wird im zweiten Beispiel verdeutlicht.

_________________________________________________________________________________

Um diesen Widerspruch aufzulösen, bedarf es einer Korrektur der Mengenlehre, der Grundlagen der Mathematik, konkret der sogenannten CANTORschen Diagonalverfahren 1.Art und 2.Art. Tragweite und Konsequenzen einer solchen Korrektur sind nicht abschätzbar.

Mit Sicherheit festgestellt werden kann jedoch als Konsequenz der Korrektur der Mengenlehre die Lösung des größten und gleichzeitig letzten philosophischen Rätsels - die Auflösung der Dualität von Geist und Materie.

Geist und Materie haben den gleichen Ursprung - einen (den) Urstoff. Die Elemente dieses Urstoffes sind definitionsgemäß Urteilchen (siehe auch PHILOSOPHIE ebenda: Die Urteilchentheorie). Die Korrektur der Mengenlehre erlaubt eine bis dato nicht mögliche mathematische Beschreibung dieser Urteilchen.

Dr. Peter Plichta hat den mathematischen Bauplan der Materie entdeckt und entschlüsselt. Eine von mannigfachen Konsequenzen dieser Tatsache ist der Ausschluß des Zufalls in der Entwicklung der Materie und damit auch in der Entwicklung des Lebens,was außerdem mathematisch-physikalisch (experimentell) bewiesen ist:

Es gibt keinen Zufall in unserem Universum.

Alle uns bekannten Erscheinungsformen der Materie, Masse und Energie, sind einem bestimmten mathematischen Bauplan, einem bestimmten, inzwischen bekannten Ordnungsprinzip unterworfen. Verschiedene Ordnungen der Bewegung der Urteilchen bedingen verschiedene Erscheinungsformen der Materie. Geist und Materie unterscheiden sich nur aufgrund eines anderen (mathematischen) Ordnungsprinzipes des Urstoffes, der Urteilchen, und durchdringen einander vollständig. Das (abzählbar) unendlich Große (Raum, Zeit) wird gespiegelt in das (abzählbar) unendlich Kleine (Geist). Die Einheit dieser beiden Gegensätze ist die Welt, das Endliche, der Mensch, Geist und Materie. Mit dieser Erkenntnis gelangt man zur (gerade umgekehrten) Wahrheit:

Die Welt ist ein Spiegelbild des Geistes.

_________________________________________________________________________________

Zweites Beispiel

Die Eulersche Zahl e ist eine Naturkonstante.

Für die Berechnung von e existieren zwei Verfahren. Die Eulersche Zahl kann entweder über eine (abzählbar) unendliche Summe berechnet werden oder über eine Grenzwertbildung: :

e = l i m ( 1 + 1/ n ) ⁿ (5)

n ® ¥

Mittels dieser Formel ist jeder beliebige Näherungswert von e berechenbar, doch aufgrund von Gleichung (1) niemals e selbst, also auch theoretisch nicht. In einem konkreten Fall wird man n möglichst groß wählen. Natürlich ist n eine natürliche Zahl. Wie groß man n auch wählen mag in einem konkreten Falle, n wird immer eine endliche (natürliche) Zahl sein. Je größer n gewählt wird, umso genauer ist das Ergebnis, umso mehr Stellen nach dem Komma von

e = 2,7 18 28 18 28 ...

werden als (immer nur) Näherungswert mit dem tatsächlichen (vollständigen) Wert von e übereinstimmen.

Wählte man aber die nun bekannte, größte natürliche Zahl, um den exakten Wert von e wenigstens theoretisch zu ermitteln, so erhielte man aufgrund von Gleichung (1)

e = 1

denn

l i m ( 1 + 1/ n ) ⁿ = l i m (1+1/n)*(1+1/n)*(1+1/n)*... = 1 (5a)

n ® ¥ n ® ¥

Gleichung (5) gilt nur für endlich große Werte von n. Sobald der Bereich des Endlichen verlassen wird, also im Grenzfall, liefert diese Formel den Wert 1 und nicht e, wird Gleichung (1) aufrechterhalten. Zum Zwecke der Verdeutlichung der Problematik bilden wir einfach den Grenzwert und zwar unmathematisch, also entgegen der herrschenden Grenzwertbildungsvorschrift und setzen

n = ¥

Für n gleich UNENDLICH erhielten wir:

( 1 + 1/¥ )^¥

Es gilt:

1 / ¥ = 0

Folglich gälte dann:

e = l i m ( 1 + 1/ n )ⁿ = ( 1 + 0 )^¥ = 1^¥ = 1

n ® ¥

und wegen

( 1 + 1/ n )ⁿ=

= ( (n + 1)/ n )ⁿ = (n + 1)ⁿ / nⁿ=

= nⁿ / nⁿ + a₁*n^n-1/nⁿ+ a₂*n^n-2/nⁿ + a₃*... + ... +1ⁿ/ nⁿ

wegen

a₁= n und a_i< nⁱ für alle i>1 folgt (weil das dritte und jedes weitere Glied der Reihe bei einer Grenzwertbildung ersetzbar ist durch 1/n )

l i m ( 1 + 1 + a₂*n^n-2/nⁿ + a₃*...) = 2 (5b)

n ® ¥

letztendlich (wegen der Gleichungen 5a und 5b ): 1 = 2.

Mit Gleichung (1) folgt dies zwingend, sobald n den endlichen Bereich verläßt. Der Beweis ergibt sich aus der Tatsache, daß Gleichung (1) und Gleichung (5) in einem elementaren Widerspruch zueinander stehen. Unmöglich kann der Grenzwert einer Summe zugleich den Wert 1 ergeben und der Grenzwert derselben Summe, wird sie (abzählbar oft) potenziert, einen größeren Wert. Der Fehler, der an diese Stelle immer wieder begangen wird, besteht grundsätzlich darin, daß Gesetzmäßigkeiten, welche Gültigkeit besitzen im Endlichen, unzulässigerweise übertragen werden in den Bereich des Unendlichen (bzw. den Bereich des abzählbar Unendlichen).

e = l i m ( 1 + 1/ n )ⁿ

n ® ¥

1 = l i m ( 1 + 1/ n ) (6)

n ® ¥

Gleichung (6) ist richtig, wäre aber falsch für den Fall, daß n die Menge der natürlichen Zahlen durchläuft. Bei Gleichung (5) verhält es sich gerade umgekehrt. Sie ist nur richtig, wenn n die Menge der natürlichen Zahlen durchläuft oder konkret, wenn n den Wert der größten natürlichen Zahl annimmt.

Hier soll gezeigt werden, daß der Zwischenbereich zwischen Endlichkeit und Unendlichkeit, das ist der Bereich der Abzählbarkeit, weder den Gesetzmäßigkeiten der Endlichkeit noch den Gesetzmäßigkeiten der Unendlichkeit gehorcht, sondern eigenen.

Zweifelsfrei konvergiert die Zahlenfolge { a_n } aus (2):

a_n = ( 1 + 1/n )ⁿ

gegen den angegebenen Grenzwert e. Um aber das Konvergenzverhalten untersuchen zu können, müssen und können nur endliche Glieder dieser (unendlichen, in Wahrheit aber "nur" abzählbar unendlichen) Zahlenfolge untersucht werden. Für jede beliebige, aber endliche Anzahl von Zahlenfolgengliedern { a_n } gilt (5).

Nach (1) gilt (5) aber bereits dann nicht mehr, wenn n e N gilt, wenn n also die Menge der natürlichen Zahlen durchläuft. Für n ® ¥ bleibt diese Formel ungültig.

An dieser Stelle scheiden sich die Geister. Einerseits führt unter Anwendung der Grenzwertbildungsvorschrift der obige Grenzwert zwingend zum Wert der Eulerschen Zahl e, weil man sich eben beliebig dicht an diesen Wert annähern kann, andererseits gilt unter Anwendung derselben Grenzwertbildungsvorschrift, daß der Bruch 1 / n den Wert Null annimmt, sobald der Bereich des Endlichen verlassen wird, was eben bei wirklich genauer Betrachtung zur Konsequenz hat, daß immer nur endlich viele Stellen nach dem Komma ermittelbar sind, also niemals die Zahl e selbst, deren (in der Regel von Null verschiedene) Ziffernfolge nach dem Komma endlos ist. Mit anderen Worten: Letztlich ist der Genzwert nicht bildbar; letztlich liefert er nicht den gesuchten Wert.

Wieder wird nicht berücksichtigt, daß UNENDLICH keine Zahl ist und somit nicht der Menge der natürlichen Zahlen angehört. Solange Gleichung (1) Gültigkeit besitzt, also der Grenzwert von 1 / n immer gleich Null ist, unabhängig davon, ob n gegen UNENDLICH strebt oder die Menge der natürlichen Zahlen durchläuft, so lange ergibt eine entsprechende Differenzierung auch keinen Sinn.

Die Existenz der größten natürlichen Zahl und die damit verbundene Existenz des Nachfolgers der natürlichen Zahl Null bedingt eine Korrektur der Grenzwertbildung; siehe obige Ausführungen zu (2).

Über einen kleinen Umweg gelangen wir nun zum zweiten Beweis der Problemstellung und der damit verbundenen (nochmaligen) Auflösung des Widerspruchs.

Um die Problematik zu verdeutlichen, schreiben wir die Formel zur Berechnung der Eulerschen Zahl etwas um, ohne dabei etwas qualitativ zu verändern.

_{_________________
_______________________10}^{n ____ ________ _
_}e = l i m ( 1 + 1/ 10ⁿ ) __

n e N

Wir lassen n jetzt (sinnvollerweise) nur die Menge der natürlichen Zahlen durchlaufen und gehen statt in Einer- gleich in Zehnerpotenzschritten vorwärts, um e zu berechnen. Im Grenzfall erhalten wir dadurch nichts Neues, denn es gilt:

lim 10ⁿ e N ________ __

n e N

Wir werden also auf diesem Wege ebenso exakt die Naturkonstante e erhalten wie unter Befolgung des obigen Weges, denn 10ⁿ ist auch bei einem über alle Maßen wachsenden n immer ein Element der Menge der natürlichen Zahlen, also eine natürliche Zahl.

Durchläuft n die Menge der natürlichen Zahlen, so heißt die Bildung von 10ⁿ ja nur ein stetiges Anhängen der Zahl Null an eine bereits existierende Zahl:

1 -> 1 0 ->10 0 ->100 0 ->1000 0 -> ...

Gibt es keine Zahl, zu der wir die Zahl 1 nicht addieren können, so gibt es auch keine Zahl, an welche wir nicht die Ziffer Null anhängen könnten, die wir also nicht mit der Zahl 10 multiplizieren könnten.

Betrachten wir uns die neue Formel zur Berechnung von e schrittweise für verschiedene n.

n=1: (1 + 1/10)¹⁰ ______ = 1,110 = ( 2 - 0,9 )¹⁰

n=2: (1 + 1/100)¹⁰⁰ _____ = 1,01100 = ( 2 - 0,99 )¹⁰⁰

n=3: (1 + 1/1000)¹⁰⁰⁰ ___=_1,0011000 = ( 2 - 0,999 )¹⁰⁰⁰

und immer so weiter. n wächst stetig und durchläuft dabei die gesamte Menge der natürlichen Zahlen. Jeder Computer ermittelt uns die Naturkonstante e mit der ihm gegebenen Genauigkeit, verwendet man diese Formel.

e » ( 2 - 0,999...9 )^1000...0

wobei natürlich für jedes beliebige, aber feste n gilt:

Exponent = 10ⁿ

0,999...9 = 1 - 1/10ⁿ

denn:

1 + 1/10ⁿ = (2 - 1) + 1/10ⁿ = 2 - ( 1 - 1/10ⁿ )

_____________________________10ⁿ __________ _______ e = l i m [2 - (1 - 1/10ⁿ)]_________ _ n e N

Im Grenzfall, n wächst über alle Maßen, erhalten wir also

e = ( 2 - 0,999... )^1000...

e = ( 2 - 0,`9 ) ^1`0

Gälte nun tatsächlich:

1 = 0,`9

so erhielten wir mittels dieser Formel nicht e, denn

e = ( 2 - 1) ^1`0 = 1 ^1`0 = 1

Wieder sind wir bei dem gleichen Problem gelandet.

0,999... = 0,`9 = l i m ( 1 - 1/10ⁿ ) (7) ________ n e N

Gilt:

l i m _1 / n = l i m_ 1/10ⁿ = 0__ ____ (8) _______ n e N ____ ___n e N

also Gleichung (1), so kann (7) nicht gelten, weil die Ziffernfolge bei der Grenzwertbildung abbricht. Gleichung (7) ist aber gültig, im Widerspruch zu Gleichung (1).

q.e.d.

Noch einmal andersherum:

Gilt

1 = 0,`9

wegen

l i m ( 1 - 1/10ⁿ) = 1 __ ____ _ n e N

kann

0,`9 nicht durch

l i m ( 1 - 1/10ⁿ) dargestellt werden. __ n e N

q.e.d.

Gilt

1 / 10ⁿ > 0

nur für endlich große n , also nicht für alle n Element der natürlichen Zahlen, bricht die Ziffernfolge 0,999... ab bei der Grenzwertbildung (siehe oben). Bricht die Ziffernfolge nicht ab, ist der Grenzwert nicht gleich der Zahl 1 und Gleichung (1) ist nicht gültig.

q.e.d.

Ein zweites Bildungsgesetz der Eulerschen Zahl lautet:

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ... + 1/n! + ...

Gilt Gleichung (1), so bricht auch hier die Ziffernfolge ab. Folglich wäre dieses Bildungsgesetz ebenfalls nur geeignet zur Ermittlung von Näherungswerten der Eulerschen Zahl.

q.e.d.

Alle diese Widersprüche werden aufgehoben durch folgende Erkenntnisse (Definitionen)!

D e f i n i t i o n e n :

1. UNENDLICH = ¥ ist keine Zahl, insbesondere keine natürliche Zahl

2. 1 - 0,`9 = l i m 1/n > 0 ____________________________________ _ ____________ n e N

1 - 0,`9 wird definiert als der Nachfolger von Null, definitionsgemäß die kleinste von Null verschiedene positive reelle Zahl.

3. l i m 1/ n = 0 ____________________________________ n ® ¥

4. 0 = l i m 1/n < l i m 1/n > 0 ____________________________ _____ __ n ® ¥ n e N

5. Die denkbar größte natürliche Zahl ist das Spiegelbild von

0,999... = 0,`9 nämlich

... 999,0

6. ...999 + 1 = 0

Wird zu der (nur) denkbar (aber nicht ermittelbaren) größten natürlichen Zahl die Zahl 1 addiert, so erhält man die Zahl 0, denn in der Zahl ... 999,0 ist beim Komma beginnend in einem nie endenden Prozeß ausnahmslos jede Ziffer 9 zu ersetzen durch die Ziffer 0 :

...999,0 + 1 = ...000,0

Weil ein nie endender Prozeß keine Rechenoperation ist, gilt nicht: ...999 = -1

7. Die Menge der natürlichen Zahlen ist weiterhin abzählbar (unendlich) auch bei Existenz einer denkbar größten natürlichen Zahl, weil die Zahl ...999,0 keine endliche Zahl ist, sondern aus einer endlosen (abzählbar unendlichen) Folge von Ziffern besteht, entsprechend der Zahl 0,999...

_________________________________________________________________________________

M E N G E N L E H R E

Die folgenden Beweise bilden eine Korrektur bisheriger mathematischer Gesetzmäßigkeiten. Insbesondere eröffnen sie eine Beschreibungsmöglichkeit des Lichtäthers, dessen Existenz experimentell mehrfach bewiesen ist.

Albert Einstein hat völlig willkürlich den Licht- oder Weltäther negiert, weshalb von der Falschheit der speziellen und der allgemeinen Relativitätstheorie auszugehen ist, die, wie (nicht nur vom Autor) mehrfach wissenschaflich exakt bewiesen, ausschließlich auf Irrtümern, Fehlinterpretationen von Experimenten, mathematischen Unzulässigkeiten (bis hin zur mehrfachen Division mit Null) und mannigfachen Widersprüchen beruht, was hier nur erwähnt wird, um den geneigten Leser durch die Tatsache der Unvereinbarkeit der Existenz des Lichtäthers mit dieser höchst eigenartigen "Theorie" Einsteins nicht vom weiteren Studium der Wahrheit abzuhalten (siehe PHYSIK ebenda).

_________________________________________________________________________________

Es gilt:

Jede Teilmenge einer endlichen Menge ist eine endliche Menge

Jede Menge, die eine unendliche Menge als Teilmenge hat, ist eine unendliche Menge

Eine Menge heißt abzählbar, wenn die natürlichen Zahlen zum Durchzählen der Elemente dieser Menge ausreichen

Jede endliche Menge ist abzählbar.

Eine Menge, die nicht abzählbar ist, heißt überabzählbar.

Die Menge der natürlichen Zahlen ist abzählbar unendlich.

Jede unendliche Menge enthält eine abzählbar unendliche Teilmenge

Es gilt aber auch (was korrigiert werden soll):

Die Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen ist wieder abzählbar (CANTORsches Diagonalverfahren 1. Art)

Die Menge aller reellen Zahlen im offenen Intervall ]0,1[ ist überabzählbar (CANTORsches Diagonalverfahren 2. Art)

Die Zahl Null als Element der Menge der natürlichen Zahlen ist identisch mit der Zahl Null als Element Menge der reellen Zahlen

Die natürliche Zahl Null besitzt keinen (findbaren) Nachfolger aus der Menge der reellen Zahlen

Die Menge der natürlichen Zahlen ist abzählbar unendlich. Ihre Elemente sind zählbar, weil sie (der Größe nach) zu ordnen sind. Ein größtes Element der Menge der natürlichen Zahlen ist nicht findbar. Es läßt sich keine (natürliche) Zahl finden, zu der die Zahl 1 nicht addierbar wäre. Deshalb ist die Menge der natürlichen Zahlen zugleich unendlich und zählbar, also zählbar ohne Ende, was man abzählbar unendlich nennt.

Soll die Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen im Intervall ]0,1[ gleich sein der Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen, so müssen alle Elemente geordnet werden können, was wiederum gleichbedeutend ist mit der findbaren Existenz des Nachfolgers von Null. Denn ist die kleinste von Null verschiedene reelle Zahl bekannt, so sind alle übrigen reellen Zahlen erhaltbar durch Aufsummierung dieser Zahl, genau wie alle natürlichen Zahlen erhaltbar sind durch eine Aufsummierung der Zahl 1 , was natürlich gleichbedeutend damit ist, daß alle diese Zahlen (der Größe nach) zu ordnen sind, wodurch sie zählbar werden.

Die folgenden Ausführungen enthalten drei Beweise, Beweis I bis Beweis III.

Beweis I, DER EPSILON-BEWEIS, zeigt in diesem Beweisverfahren den auch in beiden CANTORschen Diagonalverfahren immer wieder begangenen Denkfehler der unzulässigen Übertragung von Gesetzmäßigkeiten des Endlichen in das Unendliche auf. Es wird gezeigt, daß entgegen der Behauptung, zwischen zwei beliebig eng nebeneinanderliegenden reellen Zahlen sei immer eine dritte schiebbar, zwei Zahlen findbar sind, wofür diese Behauptung ungültig ist, wodurch der Epsilon-Beweis und auch die Behauptung, ein Nachfolger der natürlichen Zahl Null (das ist die kleinste positive reelle, von Null verschiedene Zahl) sei nicht findbar, widerlegt ist.

Über eine Grenzwertbetrachtung wird die Zahl Null als Element der Menge der reellen Zahlen neu definiert und als Nachfolger der Zahl Null (Element der Menge der natürlichen Zahlen) bestimmt.

Beweis II, CANTORsches DIAGONALVEFAHREN 2. ART, zeigt in diesem Diagonalverfahren einen Fehler in der zentralen Beweisführung auf, wodurch die Falschheit dieses Beweisverfahrens hinreichend bewiesen ist und enthält mehrere Beweise für die Abzählbarkeit der Menge aller reellen Zahlen im Intervall ]0,1[.

Beweis III, CANTORsches DIAGONALVERFAHREN 1. ART, legt die Unhaltbarkeit dieses in Wahrheit Scheinbeweises offen und zeigt, daß die Vereinigungsmenge abzählbar unendlich vieler Mengen, die alle abzählbar sind, eine solche Menge ist, die unendlich viele Elemente besitzt, also überabzählbar ist.

_________________________________________________________________________________

D E R E P S I L O N - B E W E I S

B e w e i s I

Entspricht es der Wahrheit, daß die Vereinigungsmenge abzählbar vieler abzählbarer Mengen wieder nur abzählbar ist und nicht überabzählbar, ist also das CANTORsche Diagonalverfahren 1.Art richtig und damit gültig, so muß die Menge der reellen Zahlen in jedem endlich großen Intervall bereits überabzählbar sein, was auch das CANTORsche Diagonalverfahren 2.Art zum Ergebnis hat, soll die Menge der reellen Zahlen überabzählbar sein. Es sind also entweder beide CANTORschen Diagonalverfahren richtig oder beide falsch, soll die Überabzählbarkeit der Menge der reellen Zahlen erhalten bleiben.

Soll die Menge aller reellen Zahlen in einem beliebigen, endlich großen Intervall nicht überabzählbar, sondern nur abzählbar sein, so müssen sich zwei Zahlen finden lassen, die verschieden voneinander sind, aber so dicht nebeneinander liegen, daß keine dritte Zahl, verschieden von den beiden ersten, zwischen diese beiden Zahlen schiebbar ist. Die Differenz zwischen zwei solchen Zahlen wäre dann gerade die kleinste von Null verschiedene (positive) reelle Zahl, also der Nachfolger von Null (in der Menge der reellen Zahlen).

Ein Nachfolger von Null aber ermöglichte, alle reellen Zahlen (zumindest theoretisch) zu ordnen, wodurch sie abzählbar wären.

Zur Vermeidung von Mißverständnissen:

Ziel dieser drei Beweise, die eine Einheit bilden, ist, zu zeigen, daß die reellen Zahlen in einem endlichen Intervall nur eine abzählbare Menge bilden und die Vereinigungsmenge abzählbar vieler abzählbarer Mengen eine überabzählbare Menge bildet, was zur Folge hat, daß die Menge aller reellen Zahlen überabzählbar bleibt.

Definitionen:

N - Menge der natürlichen Zahlen

R - Menge der reellen Zahlen

0_N - 0_N e N (Null Element der natürlichen Zahlen)

0_R - 0_R e R (Null Element der reellen Zahlen)

0_N = 1 - 1

0_R > 0_N

0_R = l i m _ 1/n (siehe Ausführungen Mathematik )__________________ n e N

Die Zahl Null als Element der natürlichen Zahlen repräsentiert das absolute Nichts. Die Zahl Null als Element der Menge der reellen Zahlen ist mehr als Nichts, sie repräsentiert die kleinstmögliche Einheit der Realität, des Reellen.

Null als Element der Menge der reellen Zahlen wird definiert als Äquivalent eines Urteilchens, welches wiederum definitionsgemäß ein Element des Lichtäthers ist. Ein Urteilchen ist das kleinstmögliche Teilchen, also der Grundbaustein der Materie.

(Ein unendlich kleines Teilchen, ist es wirklich unendlich klein, ist kein Teilchen mehr, sondern das absolute Nichts - andernfalls wäre es nicht unendlich klein. Der Begriff unendlich kleines Teilchen ist also im exakt mathematischen Sinne ein schwarzer Schimmel.)

Ein Urteilchen ist vorzustellen als ideale Kugel mit idealer Elastizität von nicht endlicher Größe mit nicht endlichem Energieimpuls.

Jede endlich große Masse (des Universums) wird gebildet durch eine abzählbare Menge von Urteilchen.

Das Universum enthält eine überabzählbare Menge von Urteilchen und stellt eine abzählbare Menge endlicher Raumeinheiten (Volumeneinheiten) vor.

Das Weltall ist ein nur endlich großer Teilraum des Universums - definitionsgemäß jener Raumbereich, innerhalb welchem sich alle endlichen Massen (Sonnen) des Universums befinden, deren Anzahl endlich ist, und die alle einen endlichen Abstand voneinander haben.

_________________________________________________________________________________

Die mathematische Formulierung der Behauptung:

Die Menge der reellen Zahlen ist in einem endlich großen Intervall, z.B. im offenen Intervall ]0,1[, überabzählbar oder:

Die Menge der reellen Zahlen ist in einem endlich großen Intervall, z.B. im offenen Intervall ]0,1[, nicht zu ordnen oder:

Zwischen zwei beliebige reelle, voneinander verschiedene Zahlen ist immer eine dritte schiebbar oder:

Der Nachfolger von 0_N ist nicht findbar

:lautet:

Für alle reelle Zahlen x₁ , x₂ mit

0 < x₁ < x₂ < 1

existiert eine Zahl Epsilon mit 0 < e

so daß gilt:

x₁ + e £ x₂

_________________________________________________________________________________

Dieser Beweis ist so richtig. Aber es ist kein Beweis. Er enthält einen Trick, damit bewiesen werden kann, was bewiesen werden soll; ein klassisches Beispiel von Selbstbetrug. Nicht die Wahrheitssuche, sondern das Beweisziel diktiert die Beweisführung.

In dem offenen Intervall ]0,1[ lassen sich tatsächlich nicht zwei Zahlen finden, die so dicht aufeinanderfolgen, daß keine dritte Zahl zwischen die beiden schiebbar ist. Das ändert sich sofort, wird das abgeschlossene Intervall [0,1] betrachtet (oder auch das Intervall vergrößert, z.B. ]0,2[ ). Denn zwischen die beiden Zahlen

1 und 0,999...

läßt sich keine dritte Zahl schieben, so daß sich eben doch zwei solche Zahlen finden lassen, für welche obige Behauptung nicht gültig ist.

Der Epsilon-Beweis ist ein Teil der Beweisführung für

1 = 0,999... (1)

Denn gälte (1) nicht, müßte es ja ein e > 0 geben, für das gilt:

0,99... + e = 1

und dieses e wäre dann gerade der Nachfolger von Null, den es (angeblich) nicht gibt.

Bisher wird zwischen 0_N und 0_R nicht unterschieden.

Ist 0_R der Nachfolger von 0_N , so müssen sich notwendigerweise zwei Zahlen x₁ und x₂ finden lassen, für die gilt:

x₂ - x₁ = 0_R mit x₁ < x₂

respektive (für e = 0_R ):

x₁ + e = x₂

Behauptung:

0_R = 1 - 0,999...

Beweis: siehe Ausführungen Mathematik.

________________________________________________________________________________

D A S C A N T O R s c h e

D I A G O N A L V E R F A H R E N 2. A R T

B e w e i s II

Kleine Enzyklopädie MATHEMATIK, VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1986:

14. Mengenlehre

14.5 Endliche und unendliche Mengen, S. 354:

"Die Menge aller reellen Zahlen ist überabzählbar.

Sogar die Menge ]0,1[ aller reellen Zahlen zwischen 0 und 1 ist überabzählbar. Denkt man sich eine eindeutige Abbildung f von N auf ]0,1[ vorgegeben, so kann jeder Funktionswert von f als nicht abbrechende Dezimalzahl

f(n) = 0, z_n0 z_n1 z_n2 z_n3 ...

dargestellt werden. Schreibt man für n = 0,1,2, ... alle diese Zahlen f(n) untereinander und bildet aus den in der Haupt- diagonale des entstehenden Schemas stehenden Ziffern z_ii eine neue Zahl

d = 0, d₀ d₁ d₂ d₃ ...,

indem man für jedes n e N setzt

d_n = 1 falls z_nn ¹ 1 und

d_n = 2 falls z_nn = 1

so unterscheidet sich d von jeder Zahl f(n) in der (n+1)-ten Dezimalstelle und kommt deshalb nicht unter den Funktionswerten von f vor. Da jedoch d e ]0,1[ , ist f keine Abbildung auf ]0,1[ im Widerspruch zur Voraussetzung.

Da es mithin keine solche Abbildung f gibt, ist ]0,1[ eine überabzählbare Menge. Dieses Beweisverfahren nennt man das CANTORsche DIAGONALVERFAHREN 2.ART."

Das CANTORsche Diagonalverfahren 2.Art muß einen Fehler enthalten, soll die Menge der reellen Zahlen in einem (beliebigen) endlichen Intervall abzählbar sein.

Ist die Menge aller reellen Zahlen in einem endlichen Intervall abzählbar, dann muß auch notwendig das CANTORsche Diagonalverfahren 1.Art falsch sein, welches besagt, daß die Vereinigungsmenge von abzählbar vielen abzählbaren Mengen wieder nur eine abzählbare Menge ergibt. Andernfalls wäre die Menge der reellen Zahlen nicht mehr überabzählbar, weil sie nur in abzählbar viele endlich große echte Teilintervalle zu unterteilen ist und nicht in unendlich viele.

Der folgende Beweis, daß die Menge aller reellen Zahlen im Intervall ]0,1[ tatsächlich abzählbar ist, erleichtert die Fehlersuche.

Beweis IIa

Jede beliebige reelle Zahl a_i im Intervall ]0,1[ läßt sich darstellen durch:

a_i = 0, a_i1 a_i2 a_i3 ...

Die Ziffern a_ij können nur die Zahlenwerte 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, also alle Zahlen von Null bis Neun annehmen. Das sind zehn Zahlenwerte.

Auf eine solche Weise ist jede reelle Zahl im Intervall ]0,1[ darstellbar. Somit läßt sich die Zahl aller reellen Zahlen im Intervall ]0,1[ berechnen.

Beschränken wir die Dezimalstellen zunächst auf eine, also

a_i = 0, a_i1

so sind insgesamt zehn Zahlen a_i bildbar, nämlich

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Mit zwei Dezimalstellen, also

a_i = 0, a_i1 a_i2

lassen sich bereits 100 Zahlen erzeugen, nämlich die Zahlen

0,00 0,01 0,02... 0,09 0,10 0,11 0,12... 0,19 ... 0,99

also allgemein 10ⁿ Zahlen (mit n=2).

Ist die Ziffernfolge nun endlos nach dem Komma, also

a_i = 0, a_i1 a_i2 a_i3 ...

so können damit insgesamt

l i m 10ⁿ - Zahlen erzeugt werden. __________________ n e N

Selbstverständlich läßt sich keine reelle Zahl finden im Intervall ]0,1[ , welche auf diese Weise nicht gebildet werden könnte, welche durch solch eine Darstellung nicht erfaßt werden würde.

Als abzählbar unendlich wird die Menge der natürlichen Zahlen deshalb bezeichnet, weil sich keine Zahl finden läßt, zu der man die Zahl 1 nicht addieren könnte. Ebensowenig läßt sich eine natürliche Zahl finden, an welche man die Ziffer 0 nicht anhängen könnte.

l i m 10ⁿ ______________________________ n e N

bedeutet eine fortwährende Multiplizierung der Zahl 10 mit sich.

l i m 10ⁿ = 10*10*10*10*... (1) n e N

Auch dieser Grenzwert ist Element der Menge der natürlichen Zahlen selbst. Folglich ist die Zahl aller möglichen reellen Zahlen im Intervall ]0,1[ unmöglich größer als die Zahl aller natürlichen Zahlen.

Beweis:

Wie leicht zu sehen ist, läßt sich eine eineindeutige Abbildung f der Menge der natürlichen Zahlen auf jeden Multiplikator, also jede Null der in (1) gewonnenen Zahl finden, denn die Anzahl der Nullen nach der Zahl 1 entspricht exakt der Anzahl der natürlichen Zahlen, die endlos ist wie der Raum des Universums, gleichbedeutend der Ewigkeit (Endlosigkeit der Zeit). Ewigkeit ist kein Maß der Zeit; Endlosigkeit ist kein Maß des Raumes; Abzählbar Unendlich ist keine zum Zählen geeignete Zahl, so wenig wie die Zahl p oder die Eulersche Zahl.

Die Menge der reellen Zahlen im Intervall ]0,1[ ist abzählbar unendlich.

q.e.d.

Dieser Beweis bedingt, daß in dem CANTORschen Diagonalverfahren 2.Art ein Fehler vorhanden sein muß. Es muß eine eindeutige Abbildung f von N auf ]0,1[ geben. Unter dieser Voraussetzung muß die zentrale Schlußfolgerung von CANTOR falsch sein.

Der deutsche Mathematiker GEORG CANTOR (3.3.1845 - 6.1.1918), Begründer der Mengenlehre, ist folglich einem Irrtum unterlegen, der allerdings keineswegs offensichtlich ist.

Ein Beispiel soll die Problematik verdeutlichen.

Beweis IIb

f(0) = 0,11111... (0 Dezimalstellen mit der Ziffer 2 belegt)

f(1) = 0,21111...              (1 Dezimalstelle mit der Ziffer 2 belegt)

f(2) = 0,22111...              (2 Dezimalstellen mit der Ziffer 2 belegt)

f(3) = 0,22211...              (3 Dezimalstellen mit der Ziffer 2 belegt)

...   ...   ...

f(n) = 0,2...211... (n Dezimalstellen mit der Ziffer 2 belegt)

... ... ... endlos fortzusetzen

Die Zahl D_i soll gerade jene Zahl sein, die man erhält aus der Diagonale von bereits i niedergeschriebenen Zahlen f(i).

Also:

D₀ = 0,1

D₁ = 0,11

D₂ = 0,111

und so weiter.

Aus den Zahlen D_i sind die Zahlen d_i zu bilden nach der gegebenen Bildungsvorschrift von CANTOR, indem die Ziffern aller Dezimalstellen ersetzt werden durch die Ziffer 1, wenn die zu ersetzende Ziffer nicht selbst eine 1 ist.

Ist die zu ersetzende Ziffer eine 1, so ist sie durch die Ziffer 2 zu ersetzen, was für das gewählte Beispiel heißt, daß immer die Zahl 2 die neue Ziffer ist. Wir erhalten also:

f(0) = 0,1111...     D₀ = 0,1             d = 0, d₀                 = 0,2

f(1) = 0,2111...     D₁ = 0,11          d = 0, d₀d₁             = 0,22

f(2) = 0,2211...     D₂ = 0,111       d = 0, d₀d₁d₂        = 0,222

Wie nun leicht zu sehen ist, ergibt die Zahl d den Wert

d = 0,222...

hat man alle diese Funktionswerte, welche bereits eine abzählbare Menge bilden und doch nur einen Teil aller reellen Zahlen im Intervall ]0,1[ , niedergeschrieben und nach besagter Vorschrift die Zahl d gebildet.

Wie ebenfalls leicht zu erkennen ist, ergibt der Funktionswert

f(n) = 0,222...

gerade d selbst, durchläuft n die Elemente der Menge der natürlichen Zahlen.

Obwohl gilt, daß die Zahl d sich von jeder Zahl f(n) in der (n+1)-ten Dezimalstelle unterscheidet, kann doch nicht behauptet werden, daß deshalb die Zahl d unter den Funktionswerten von f nicht vorkommt.

Das aber ist der Kern des Irrtums von CANTOR.

Die Behauptung, die Zahl d käme nicht unter den Funktionswerten von f vor, ist dann und nur dann wahr, wenn nur endlich viele Funktionswerte betrachtet werden. Folglich ist die Aussage, die Zahl d sei nicht enthalten in den Funktionswerten von f nur richtig für ein beliebiges, aber fest gewähltes n e N.

Nach Voraussetzung ist die Zahl der Funktionswerte endlos. Daraus folgt zwingend, daß die Zahl d nicht ermittelbar ist, so wenig wie die Zahl p oder die Eulersche Zahl, über die wir deshalb beispielsweise keine Aussage treffen können bzgl. der Teilbarkeit durch 2. Von einer nicht ermittelbaren Zahl kann nicht behauptet werden, sie sei nicht enthalten in einer gewissen Menge vorgegebener Elemente. Die für den Bereich des Endlichen gültigen Gesetzmäßigkeiten sind hier nicht übetragbar in den Bereich des Unendlichen.

Es gilt (für den gegebenen Fall):

l i m f(n) = d______________ n e N

q.e.d.

Ein weiterer Beweis ergibt sich aus der folgenden Betrachtung.

Beweis IIc

Die in BEWEIS IIb definierte Menge von Funktionswerten

f(0) f(1) f(2) ... f(n) ...

bildet eine Menge M von reellen Zahlen mit

f(i) ¹ f(j) für alle i ¹ j

in einem endlichen Intervall.

Die Menge M ist abzählbar, weil eine eineindeutige Abbildung von N auf M existiert (wie leicht zu sehen ist).

Die Vereinigungsmenge von endlich vielen abzählbaren Mengen ist eine (nur) abzählbare Menge. Das Intervall ]0,1[ ist nur in endlich viele endlich große Teilintervalle aufteilbar, woraus folgt, daß die Menge aller reellen Zahlen im Intervall ]0,1[ abzählbar ist.

q.e.d.

Beweis IId

Stellt man sich unter den Funktionswerten f(n) alle jene reellen Zahlen im Intervall ]0,1[ vor, die in der (n+1)-ten Dezimalstelle (also der Diagonalen) nicht die Ziffer 1 enthalten, so fehlen in dem dann erhaltbaren Schema von allen reellen Zahlen des Intervalls ]0,1[ nur abzählbar unendlich viele. Für die Zahl d ergibt sich in diesem Fall

d = 0,111...

In der vorgegebenen Menge von reellen Zahlen, also unter allen Funktionswerten, befinden sich auch alle jene reellen Zahlen g(n), die bis zur n-ten Dezimalstelle nur die Ziffer 1 enthalten. Läßt man nun n die Menge der natürlichen Zahlen durchlaufen, so erhält man für speziell diese ausgewählte reelle Zahl den Wert

l i m g(n) = d __________ n e N

Die Zahl d ist also wiederum enthalten in den Funktionswerten von f, wodurch diese Menge abzählbar ist.

Im Zusammenhang mit BEWEIS IIc ist folglich die Menge aller reellen Zahlen im Intervall ]0,1[ abzählbar.

q.e.d.

Zusammenfassung:

Der absolute Widerspruch zwischen dem Ergebnis des CANTORschen Diagonalverfahrens 2.Art und der Tatsache, daß die Zahl der Elemente der Menge aller reellen Zahlen im Intervall ]0,1[ die Zahl der Elemente der Menge der natürlichen Zahlen nicht überschreiten kann, beruht auf einer unzulässigen Übertragung von Gesetzmäßigkeiten endlicher Mengen auf abzählbare Mengen.

Die zentrale Schlußfolgerung des CANTORschen Diagonalverfahrens 2.Art ist falsch, wodurch dieser Beweis zwingend widerlegt und damit ungültig ist.

q.e.d.

_________________________________________________________________________________

D a s   C A N T O R s c h e

D I A G O N A L V E R F A H R E N   1. A R T

B e w e i s    III

Kleine Enzyklopädie MATHEMATIK, VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1986:

14. Mengenlehre

14.5 Endliche und unendliche Mengen, S. 354:

"Die Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen ist wieder abzählbar.

Es genügt zu zeigen, daß die Vereinigung abzählbar unendlich vieler abzählbar unendlicher Mengen abzählbar ist. Ein Beweis dafür ergibt sich aus folgender Überlegung:

Seien M₀, M₁, ... jene Mengen und a_i1 , a_i2, ... die Elemente von M_i. Schreibt man dann die Elemente jeder Menge M_i zeilenweise nebeneinander und alle diese Zeilen untereinander, so kann man ..."

indem man jeweils von einer Diagonale zur nächsten fortschreitet,

"... zählend mit den natürlichen Zahlen alle Elemente aller M_i (i e N) durchzählen. Dieses Beweisverfahren nennt man das CANTORsche DIAGONALVERFAHREN 1.ART."

Dieses Beweisverfahren muß einen Fehler enthalten, soll die Menge aller reellen Zahlen überabzählbar sein, wobei natürlich diese Behauptung BEWEIS I und BEWEIS II voraussetzt.

Zunächst soll das wiederum sehr einleuchtende Beweisverfahren etwas näher erklärt werden.

Jede Menge M_i besteht aus abzählbar unendlich vielen Elementen:

M₀ = { a₀₀ , a₀₁ , a₀₂ , a₀₃ , ...}

M₁ = { a₁₀ , a₁₁ , a₁₂ , a₁₃ , ...}

M₂ = { a₂₀ , a₂₁ , a₂₂ , a₂₃ , ...}

und so weiter ...

Schreibt man nun alle Elemente dieser abzählbar unendlich vielen Mengen neben- und untereinander, so erhält man folgendes Schema.

a₀₀   a₀₁     a₀₂      a₀₃...

a₁₀    a₁₁     a₁₂      a₁₃...

a₂₀     a₂₁       a₂₂      a₂₃...

a₃₀          a₃₁        a₃₂    a₃₃...

. . . .

Die Diagonalen setzen sich aus folgenden Elementen zusammen (jeweils von links unten nach rechts oben):

0. Diagonale:          a₀₀

1. Diagonale:          a₁₀ a₀₁

2. Diagonale:          a₂₀ a₁₁ a₀₂

3. Diagonale:          a₃₀ a₂₁ a₁₂ a₀₃

...     ...      ...              ...      ...     ...     ...      ...

n. Diagonale:         a_n0    ...   ...   ...   ...   ...    ... a_0n

...     ...      ...              ...      ...     ...     ...      ...     ...     ...

Nach endlich vielen Schritten enthält jede Diagonale nur endlich viel Elemente. Die Menge aller Diagonalen ist abzählbar unendlich.

Folglich ist die Vereinigungsmenge von abzählbar unendlich vielen abzählbar unendlicher Mengen wieder nur abzählbar.

Die Falschheit dieses Verfahrens ist leicht zu sehen. Gezeigt werden sollte, daß die Vereinigung von abzählbar vielen abzählbaren Mengen M_i eine abzählbare Menge ergibt. Betrachten wir die Menge aller Diagonalen D_i , so ist leicht zu erkennen, daß von allen abzählbar vielen Diagonalen es nur endlich viele gibt, die endlich viel Elemente enthalten. Entfernen wir diese endlich vielen Diagonalen, so liegen uns abzählbar unendlich viele Diagonalen D_i vor, von denen jede abzählbar unendlich viel Elemente enthält. Wir sind also keinen Schritt weiter. Die Behauptung wird nicht bewiesen, sondern im Beweis nur wiederholt, was kein Beweis ist.

Beweis:

Es sei D die Menge aller Diagonalen D_i . Dann existiert eine eindeutige Abbildung f von N auf D, wie leicht zu sehen ist. Es läßt sich aber keine Abbbildung finden, welche N zugleich auf D und jedes Element jeder Menge D_i abbildet.

q.e.d.

Behauptung:

Die Vereinigungsmenge abzählbar vieler abzählbarer Mengen ist überabzählbar.

Beweis IIIa

Wäre die Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen wieder nur abzählbar, dann müßte sich jede abzählbare Menge zerlegen lassen in abzählbar unendlich viele echte Teilmengen, wobei jede dieser Mengen abzählbar ist.

Behauptung:

Die Menge der natürlichen Zahlen N ist nur in endlich viele echte abzählbare Teilmengen zerlegbar.

Beweis:

1. Die Menge der natürlichen Zahlen läßt sich nur in abzählbar viele echte endliche Teilmengen zerlegen, z.B.:

{0,1}, {2,3}, {4,5}, {6,7}, ...

Jede überabzählbare Menge läßt sich zerlegen in eine überabzählbare Menge von echten endlichen Teilmengen oder dementsprechend in eine abzählbare Menge von echten Teilmengen, die alle abzählbar sind. Wäre also die Vereinigungsmenge abzählbar vieler abzählbarer Mengen eine nur abzählbare Menge, so müßte sich die abzählbare Menge der natürlichen Zahlen zerlegen lassen in abzählbar viele echte Teilmengen, wobei jede dieser Teilmengen eine abzählbare Menge ist.

2. Die Menge der natürlichen Zahlen läßt sich sehr einfach zerlegen in zwei echte Teilmengen, nämlich in die Menge aller geraden natürlichen Zahlen und die Menge aller ungeraden natürlichen Zahlen, wobei jede dieser Teilmengen abzählbar ist.

N₁ = {1,3,5,7, ...}

N₂ = {2,4,6,8, ...}

Die Elemente der Menge N₁ lassen sich auch darstellen in der Form:

N₁ = {1, 1+2, 1+2+2, 1+2+2+2, ...}

allgemeiner:

N₁ = {1+0*n, 1+1*n, 1+2*n, 1+3*n, ...} mit n = 2

N₂ läßt sich natürlich in gleicher Weise darstellen:

N₂ = {2+0*n, 2+1*n, 2+2*n, 2+3*n, ...}

Mit n=2 lassen sich also zwei echte Teilmengen aus N bilden, folglich mit n=3 drei, mit n=100 einhundert usw., die alle abzählbar sind.

n kann jeden endlichen Wert der Menge der natürlichen Zahlen annehmen mit dem Ergebnis, daß dann n echte abzählbare Teilmengen von N vorliegen.

N₁ = {1+0*n, 1+1*n, 1+2*n, 1+3*n, ...}

N₂ = {2+0*n, 2+1*n, 2+2*n, 2+3*n, ...}

N₃ = {3+0*n, 3+1*n, 3+2*n, 3+3*n, ...}

. . . . . .

N_n = {n+0*n, n+1*n, n+2*n, n+3*n, ...}

n kann nicht über alle Maßen wachsen. Durchläuft n die Menge der natürlichen Zahlen, so ist der Grenzwert von (1+n), also bereits das zweite Element der ersten echten Teilmenge N₁ als Zahl nicht ermittelbar.

Aus der Menge der natürlichen Zahlen lassen sich nur endlich viele echte abzählbare Teilmengen bilden.

q.e.d.

Folgende einfachen, logischen Überlegungen zeigen den Fehler im CANTORschen Diagonalverfahren 1.Art auf:

Beweis IIIb

Eine Menge M ist genau dann abzählbar, wenn es eine Abbildung f von N auf M gibt. Ist M die Vereinigungsmenge von abzählbar unendlich vielen abzählbaren Mengen M_i und eine dieser Mengen gerade N selbst, so wäre die Menge aller natürlichen Zahlen verbraucht zum Durchzählen von nur einer Menge M_i . Es existiert keine Abbildung f von N auf die Vereinigungsmenge von N mit N.

Im Zusammenhang mit BEWEIS IIIa kann auf maximal endlich viele Mengen M_i eine entsprechende Abbildung f existieren.

q.e.d.

Beweis IIIc

Die Menge aller Diagonalen, die man erhält nach dem CANTORschen Diagonalverfahren 1.Art, ist abzählbar unendlich. Summiert man die Summen der Elemente der Diagonalen auf, so erhält man die Reihe:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + ...

Die Summe einer solchen Reihe mit n Gliedern errechnet sich nach der Formel:

n (n+1) ________________________ _ _ 2

Die Zahl aller Elemente der Menge D beträgt folglich:

l i m n (n + 1) / 2 = l i m n² ______ __ _________ ___ n e N ____________ _____ __ n e N

Nach dem (widerlegten) CANTORschen Diagonalverfahren 1.Art gilt:

l i m n² = l i m n_____________________________________________________ n e N _______ __ n e N

Behauptung:

l i m n² = ¥ __________________ (1) n e N

Beweis:

Es gilt:

n² > n für alle n > 1

¥ > l i m n _________________________ n e N

UNENDLICH "GRÖSSER" ABZÄHLBAR UNENDLICH

Es gilt nicht:

l i m n > l i m n ____________ n e N n e N

Keine abzählbare Menge besitzt mehr Elemente als irgendeine andere abzählbare Menge.

l i m n ______________ _____________ _____ n e N

hat keine ermittelbare Zahl zum Ergebnis, weil die größte Zahl der Menge der natürlichen Zahlen nicht errechenbar, nicht ermittelbar, nur denkbar ist, wie z.B. die Zahl p.

Eine nicht findbare und damit nicht definitiv existierende Zahl ist nicht mit sich selbst multiplizierbar. Die Operation der Multiplikation ist nicht durchführbar. Folglich ist kein Ergebnis erhaltbar. UNENDLICH ist keine Zahl, ein Nicht-Ergebnis. Die Zahl p ist nur mit der Zahl 0 oder 1 multiplizierbar. Jede andere Multiplikation ist nicht durchführbar, weil eben nur Näherungswerte ermittelt werden können.

Sehr wohl lassen sich endlich viele abzählbare Zahlen finden, wie z.B. die Zahlen

0,111 ...

0,222 ...

die multipliziert werden können mit einer Zahl wie 2 oder 9, aber welches Ergebnis liefert die Multiplikation von p mit 0,222... ?

Die Bildung von n² in (1) ist folglich nur im Endlichen möglich. Wird das Endliche verlassen (Übergang in das ABZÄHLBAR UNENDLICHE), wird das Quadrat einer nicht endlichen Zahl gebildet, was aber nicht möglich ist. Konkret (unter Berücksichtigung bisheriger Beweisführungen):

...999,0

mit sich selbst multipliziert führt zu keinem Ergebnis, auch nicht theoretisch. Ein Ergebnis ist nicht einmal denkbar. Ein solches, über alle Maßen wachsendes Nichtergebnis stellt aber gerade die Nichtzahl UNENDLICH dar.

q.e.d.

Zusammenfassung:

Das CANTORsche Diagonalverfahren 1.Art ist bei genauer Betrachtung nicht als ein Beweis einzustufen. Die eindeutige Widerlegung des CANTORschen Diagonalverfahren 1.Art bedingt:

1. Jede abzählbare Menge ist in nur endlich viele echte abzählbare Teilmengen zerlegbar und nicht in abzählbar viele abzählbare.

2. Jede abzählbare Menge ist nur in abzählbar viele echte endliche Teilmengen zerlegbar und nicht in abzählbar viele abzählbare.

3. Die Vereinigungsmenge abzählbar unendlich vieler abzählbarer Mengen ist überabzählbar.

q.e.d.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Die reale Existenz Gottes

Der Verfasser der Bibel ist Gott

Die Relativitätstheorie - unvereinbar mit der Realität (Experimenten)

DieUrknalltheorie - eine Idiotentheorie

Die Evolutionstheorie - eine faschistische Ideologie

Es gibt keine Naturgesetze

Es gibt keinen Zufall

Unser Weg

Des Menschen Weg

Das einzige Problem auf unserem Planeten heißt Mensch.

E N D E